Pembuktian pythagoras

Pembuktian pythagoras

Teorema Pythagoras,

      Siapa yang tidak mengenal Teorema ini? Teorema Pythagoras membahas hubungan spesial ketiga sisi segitiga siku-siku sering ditulis  a² + b² = c²   dengan c adalah sisi miring sedangkan a dan b adalah dua sisi lainnya Kalian tahu? ada ratusan cara pembuktian Teorema Pytagoras. Terdapat Buku berjudul The Pythagorean Proposition yang   membahas 367 cara pembuktian Teorema Pytagoras. Woow…banyak sekali pembuktiannya, bukan?

        Teorema pythagoras boleh dibilang adalah teorema paling terkenal di matematika, kalo gak salah kita sudah mempelajari theorema tersebut sejak SMP (cmiiw). Pada tahun 572 sebelum masehi Pythagoras berkata bahwa jumlah kuadrat kedua sisi siku-siku pada segitiga siku-siku sama dengan panjang kuadrat sisi miringnya. Konon 1000 tahun sebelum Pytagiras lahir  bangsa babylonia telah menyadari hubungan antara sisi siku-siku dengan sisi miringnya pada segitiga siku-siku, tapi pythagoraslah yang pertamakali menyatakan hubungan tersebut dalam persamaan matematika.

          Sebenarnya ada 79 cara untuk membuktikan teorema pytagoras. Tapi saya akan menggunakan cara pembuktian yang paling terkenal, pembuktian oleh astronom India Bhaskara (1114-1185).

Langkah pertama buat 4 buah segitiga siku-siku yang sama

Lalu susun menjadi bentuk dibawah ini:

 Sehingga didapat,

c2 = a2 + b2

          Dari pembuktian di atas terbukti bahwa:

 KUADRAT SISI MIRING SEGITIGA = JUMLAH KUADRANT SISI SIKU-SIKU.

Peluang, Permutasi dan Kombinasi

Peluang, Permutasi & Kombinasi

1)    Permutasi 

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga 
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau  .

Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu?

=50400

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2)    Kombinasi 

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk  Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , 

 

 

Contoh :

Diketahui himpunan   :
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu?

                   =5040/24  =210

Peluang Matematika

1.     Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian 

Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2.     Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus : 

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3.     Kisaran Nilai Peluang Matematika

Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan  
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan  kejadian  pasti.

4.     Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 

Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5.     Peluang Komplemen Suatu Kejadian 

Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga : 

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

1.     Gabungan Dua Kejadian 

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku : 

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan  dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2.     Kejadian-kejadian Saling Lepas 

Untuk setiap kejadian berlaku  Jika . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3.     Kejadian Bersyarat 

Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika  adalah peluang terjadinya A dan B, maka   Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

Bangun Datar

Bangun datar

Bangun datar merupakan sebutan untuk bangun-bangun dua dimensi.

Macam bangun datar

Jenis bangun datar bermacam-macam, antara lain persegi, persegi panjang, segitiga, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat, dan lingkaran.

Nama-nama bangun datar:

·         Persegi Panjang, yaitu bangun datar yang mempunyai sisi berhadapan yang sama panjang, dan memiliki empat buah titik sudut siku-siku.

·         Persegi, yaitu persegi panjang yang semua sisinya sama panjang.

·         Segitiga, yaitu bangun datar yang terbentuk oleh tiga buah titik yang tidak segaris.. macam macamnya: segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga siku-siku, segitiga sembarang

·         Jajar Genjang, yaitu segi empat yang sisinya sepasang-sepasang sama panjang dan sejajar.

·         Trapesium, yaitu segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar.

·         Layang-layang, yaitu segi empat yang salah satu diagonalnya memotong tegak lurus sumbu diagonal lainnya.

·         Belah Ketupat, yaitu segi empat yang semua sisinya sama panjang dan kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus.

·         Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik yang mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama.

Rumus Bangun Datar

·         Rumus Persegi

Luas = s x s = s² ( Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2, 'sudah dibuktikan' )

Keliling = 4 x s

dengan s = panjang sisi persegi

·         Rumus Persegi Panjang

Luas = p x l

p = Luas : lebar

l = Luas : panjang

Keliling = 2p + 2l = 2 x (p + l)

dengan p = panjang persegi panjang, dan l = lebar persegi panjang

·        Rumus Segitiga

Luas = ½ x a x t

dengan a = panjang alas segitiga, dan t = tinggi segitiga

Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan Pythagoras  (A² + B² = C²)

·        Rumus Jajar Genjang

Luas = a x t

dengan a = panjang alas jajargenjang, dan t = tinggi jajargenjang

·        Rumus Trapesium

Luas = ½ x (s1 + s2) x t

dengan s1 dan s2 = sisi-sisi sejajar pada trapesium, dan t = tinggi trapesium

·        Rumus Layang-layang

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

·        Rumus Belah Ketupat

Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2

·        Rumus Lingkaran

Luas = π (pi) x jari-jari (r) ²

        = πr²

Sifat-sifat bangun datar:

·         Layang-layang = terbagi atas 2 digonal yang berbeda ukurannya

·         Persegi = semua sisi-sisinya sama panjang, semua sudut sama besar, kedua diagonal berpotongan tegak lurus dan sama panjang.

·         Persegi panjang = sisi yang behadapan sama panjang, semua sudut sama besar

·         Belah ketupat = semua sisi-sisinya sama panjang, sudut yang berhadapan sama besar, kedua diagonalnya tidak sama panjang dan berpotongan tegak lurus.

·         Jajar genjang = sisi yang berhadapan sama panjang, sudut yang berhadapan sama besar

·         Lingkaran = memiliki simetri lipat dan simetri putar yang tak terhingga jumlahnya

OPRASI BILANGAN BULAT

Sebelum mempelajari operasi pembagian pada bilangan bulat, sebaiknya kalian memahami terlebih dahulu operasi perkaliannya. Mengapa demikian? Tentu saja itu dikarenakan operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. coba perhatikan uraian di bawah ini:

(1) 3 x 4 = 4 x 4 x 4 = 12

Sehingga kita dapat menuliskan 12 : 3 = 4

Atau

3 x 4 = 12 <=> 12 : 3 = 4

Dari kedua uraian di atas tentu kalian bisa melihat bahwasanya operasi pembagian adalah kebalikan dari operasi perkalian. Sehingga rumus-nya dapat dijabarkan menjadi :

"apabila K, L, dan M adalah bilangan bulat dengan L adalah faktor K dan L tidak sama dengan 0 maka berlakulah K : L = M <=> K = L x M"

Pembagian Bilangan Bulat Positif/Negatif

Perhatikan contoh-contoh yang ada di bawah ini:

-3 x (-5) = 15, maka:

15 : (-5) = -3

15 : (-3) = -5

-12 x (-5) = 60, maka:

60 : (-12) = -5

60 : (-5) = -12

Dari contoh-contoh tersebut, kita bisa menyimpulkan bahwa apabila bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat negatif maka hasilnya akan berbentuk negatif, sehingga berlakulah a : (-b) = -(a:b)

Pembagian Dua bilangan Bulat Negatif

Langsung perhatikan contoh berikut ini:

4 x (-5) = -20, maka:

-20 : (-5) = 4

-20 : 4 = -5

9 x (-2) = -18, maka:

-18 : (-2) = 9

-18 : 9 = -2

Dari uraian contoh di atas dapat kita simpulkan bahwa apabila bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat negatif akan menghasilkan bilangan bulat positif, sehingga (-a) : (-b) = (a:b)